‘Geheugen is wat overblijft na denkwerk’, is een bekende uitspraak van Daniel Willingham, oftewel: Leerlingen onthouden datgene waar ze over hebben nagedacht. Voor leraren is het dan ook een belangrijke vraag hoe ze ervoor kunnen zorgen dat leerlingen over de juiste dingen nadenken tijdens lessen.

Hoewel het principe eenvoudig is, valt er nog genoeg in te ontdekken. De ontwikkelingen staan dan ook niet stil. In hun beider boeken introduceren de Britse wiskundedocent Craig Barton in Reflect, Expect, Check, Explain en de Canadese onderzoeker Peter Liljedahl in Building Thinking Classrooms een interessante, nieuwe manier om het denken bij te sturen: de denkreeks.

Een denkreeks behelst precies wat de naam zegt: door middel van een serie opdrachten wordt het denken in de gewenste richting gebracht.

In deze blog zullen we stilstaan bij wat er ‘nieuw’ is aan denkreeksen, hoe je deze kunt inzetten bij formatief handelen, en hoe je zelf denkreeksen kunt ontwerpen voor in je lessen.

Wat René vroeger deed…

Om de meerwaarde van denkreeksen te introduceren in lessen kunnen we het beste beginnen met hoe René in het verleden formatief handelen zou toepassen in zijn lessen. Hoewel hij zich al erg bewust was van het feit dat leerlingen veel moesten nadenken, laat dit voorbeeld desondanks nog wat te wensen over op dit vlak.

Situatie:

Een van de dingen die leerlingen in de onderbouw van havo/vwo moeten leren is het isoleren van variabelen. Maar wanneer is een variabele geïsoleerd? René zou er voorheen voor hebben gekozen om twee voorbeelden te laten zien. Dat zag er in zijn lessen als volgt uit.

Het eerste voorbeeld schreef hij op het digibord.

a = b + 3

Vervolgens zou hij aan de hele klas gevraagd hebben om te stemmen. Duim omhoog als de variabele a wel geïsoleerd was, duim omlaag als dit niet het geval is. Daarna zou hij met willekeurig bevragen de leerlingen hun keuze laten toelichten. (Het goede antwoord is hier trouwens ja)

Hierna was het tijd voor een nieuw voorbeeld. Hij wiste het eerste voorbeeld uit en schreef een nieuwe op het digibord:

b = 2a

Vervolgens vroeg hij leerlingen weer om te stemmen op de vraag ‘Is variabele a hier geïsoleerd?’, en hoorde hun antwoorden uit. Eventueel zou hij ervoor kiezen om een laatste voorbeeld te gebruiken. Maar als zijn indruk goed was zou hij leerlingen aan het werk zetten om er wat opdrachten over te maken.(Het goede antwoord was hier trouwens nee)

Niet verkeerd voor een oude man, zou je zeggen.

Klinkt goed…

Dit klinkt op zich natuurlijk al als een geslaagde lesactiviteit. En we willen zeker niet beweren dat dit een verkeerde aanpak was. Om de volgende redenen zal die namelijk prima werken:

1. Denkwerk krijgt meteen een landingsplek Van de literatuur over transformatieve feedback weten we dat alleen nadenken niet genoeg is^[1]. Het denkwerk moet ook zichtbaar worden, en gestalte kunnen krijgen, waardoor het beter postvat. Door een tweede voorbeeld waarover ook gestemd moet worden te gebruiken is dit mogelijk. Uiteindelijk kunnen leerlingen al hun nieuwverworven inzichten toepassen bij het zelfstandig werken.
2. Activeren met feedback Leerlingen kunnen van deze opzet gemotiveerder raken. Ze moeten een keuze maken en nadat ze het juiste antwoord gehoord hebben krijgt de leerling de kans om het beter te doen. Door eventueel nog een derde voorbeeld toe te voegen als dat nodig is, krijgt iedere leerling de kans het onder de knie te krijgen.
3. Didactiek van ambitieuze verwachtingen Een dergelijke aanpak start als de docent lesgeeft vanuit de ambitie dat iedere leerling of student ‘iets’ op een bepaald niveau moet kunnen. Vervolgens krijg je als docent ook zicht op de hele klas doordat ze allemaal hun duim opsteken. Door dit ook zo te doorlopen ziet iedere leerling of student dat wat je voor ze ambieert voor hen ook binnen handbereik ligt.

Twee problemen

Maar ondanks deze drie reeds aanwezige voordelen zijn er ook twee problemen met de bovengeschetste aanpak die deze minder effectief maakt dan het zou kunnen zijn.

1. Voorbeelden verdwijnen

Het eerste grote manco is dat ieder getoond voorbeeld en het bijbehorende antwoord weer verdwijnen. Leerlingen zijn bij het tonen van de tweede formule waarschijnlijk alweer vergeten hoe de eerste formule er ook alweer uitzag. Dit maakt het moeilijk (zo niet onmogelijk bij complexere vragen) om beide formules en de bijbehorende antwoorden met elkaar te vergelijken, en zoals we weten van bijv. de strategie kwaliteitsbesef bijbrengen is vergelijken juist een hele effectieve leerstrategie. Het is daarom zinvoller om de gebruikte antwoorden en de daar bijbehorende antwoorden op een of andere manier in beeld te houden.

2. Te grote variatie tussen de voorbeelden

“Wanneer bepaalde aspecten van een fenomeen variëren en andere ervan hetzelfde blijven, vallen de aspecten die variëren op.” (Lo, Chik & Pang, 2006)

Het tweede probleem is dat er te grote variatie tussen de voorbeelden zit. Tussen het eerste voorbeeld (a + 3 = b) en het tweede voorbeeld (b = 2a) is zo veel veranderd, dat het moeilijk is voor leerlingen om te zien (of te voorspellen) welke wijziging nou precies ervoor heeft gezorgd dat de variabele niet meer geïsoleerd is in het tweede voorbeeld.

Voorbeeld van hoe het beter kan met een denkreeks

Op een van de (vele) websites van Craig Barton verzamelt hij voorbeelden van denkreeksen. Zo heeft hij ook een voorbeeld dat gaat over het isoleren van een variabele. Laten we eerst eens kijken naar zo’n geslaagde denkreeks voor we analyseren waarom dit beter werkt om het denken van leerlingen te richten.

Stap 1: als leraar toon je een formule, en je laat je leerlingen stemmen. Duim omhoog voor ja, duim omlaag voor nee.

Stap 2: Laat het antwoord zien

Stap 3: Je laat de volgende formule zien, maar de vorige vraag en het antwoord blijven ‘in beeld’. Je laat de leerlingen weer stemmen.

Stap 4 en verder: Dit herhaal je tot de reeks compleet is.

Betere voorspellingen doen

Wanneer je een denkreeks opstelt met minimale variatie (dus dat er maar een aspect per keer verandert), stel je je leerlingen in staat om beter voorspellingen te doen. Als de verschillen tussen de opdrachten of voorbeelden te groot zijn dan wordt het moeilijker om doordacht een voorspelling te doen, en zodoende zinnig te begrijpen hoe het komt dat die voorspelling niet uitkomt.

Dit vergroot het leereffect van de denkreeks.

Hoe groot het verschil in variatie kan zijn om nog effectief te zijn, is natuurlijk wel afhankelijk van de doelgroep. De wat betere leerling zal grotere sprongen qua variatie kunnen begrijpen, maar ook waarderen.

Betere conclusies

Maar we zien niet alleen dat Barton minimale variatie aanbrengt, maar daarmee ook koerst langs allerlei interessante kwesties: is de a ook geïsoleerd als die aan de rechterkant van het gelijkteken staat? Is de a ook geïsoleerd als die links en rechts voorkomt? Dit zijn allemaal voorbeelden, die je normaliter als wiskundedocent niet zou tonen of zou vergeten te tonen.

Wat echter natuurlijk kan gebeuren is dat leerlingen sowieso uit een denkreeks bepaalde conclusies zullen trekken die niet de bedoeling zijn. Daarom is het altijd goed om bijv. via een werkvorm zoals denken-duo-delen te checken wat leerlingen nu precies als ‘les’ of als ‘regel’ hebben meegenomen uit een gehanteerde denkreeks. Liljedahl noemt dit in zijn boek ook wel reify, te vertalen als het verstoffelijken van het geleerde.

Denkreeksen ontwerpen

Wil je zelf ook een keer een denkreeks uitproberen in de les? Goed idee, want het is erg leuk om te maken en te gebruiken!

Wellicht vind je de volgende ontwerpstappen daarbij behulpzaam:

1. Bepaal de gewenste eindprestatie. Een denkreeks gaat altijd vooraf aan een vervolgactiviteit. De denkreeks kan bijvoorbeeld is de afsluiter zijn van je instructie, daarna moeten leerlingen zelfstandig aan de slag kunnen. Welke opdracht zou iedere leerling goed moeten kunnen doen zodat ze ook de overstap kunnen maken naar het zelfstandig werken? Deze opdracht vormt het eindpunt van je denkreeks.
2. Noteer welke misvattingen & denkfouten je verwacht.Maak voor jezelf een overzicht van de soorten fouten die je denkt dat leerlingen zullen maken. Als je dit nog niet eerder gedaan hebt kan het een idee zijn om eerst eens te oefenen met het maken van diagnostische vragen.
3. Bepaal de meest ideale vorm. Ga je leerlingen ja/nee-laten stemmen, of laat je ze uitgebreider reageren met wisbordjes, of ga je een serie exit-tickets inzetten? Net als bij andere processen van formatief handelen is qua vorm the sky the limit. Maar het is natuurlijk wel handig om een vorm te kiezen waarmee je de beoogde misvattingen & denkfouten (uit punt 2) wel snel kunt zien.
4. Begin met een eenvoudig voorbeeld/eenvoudige opdracht. Bepaal nu je beginpunt. Het is vaak goed om leerlingen te laten starten met een succesje. Dus welke opdracht of welk voorbeeld zou je om te starten kunnen aanbieden die vermoedelijk iedere leerling goed zal doen?
5. Varieer minimaal.Vanaf dit beginpunt (punt 4) begin je nu te variëren door een aspect van de vraag te wijzigen. Hiermee ga je door tot je het gewenste eindpunt bereikt hebt (punt 1) en onderweg alle interessante kwesties bent langsgelopen (punt 2).

Voorbeelden van denkreeksen

Natuurlijk ben je niet de eerste die met denkreeksen aan de slag gaat! Om inspiratie op te doen delen we goede voorbeelden van verschillende vakken via een Padlet, gemaakt door deelnemers in onze trajecten en onze collega’s.

https://padlet.com/renekneyber/voorbeelden-denkreeksen-33ydgtmz1bnrj2mk

We zullen deze pagina regelmatig updaten. Als je zelf een leuke denkreeks hebt die we hierop mogen delen laat het ons dan weten!

Tot slot

In deze blog bespraken we het concept van denkreeksen. Denkreeksen stellen leraren in staat om op een efficiënte en effectieve manier misvattingen en denkfouten op te lossen. Het ontwerp van een denkreeks doet er daarbij toe. Door minimaal te variëren binnen een denkreeks kun je het denken van je leerlingen richten en sturen.

Noten

1. Zie bijvoorbeeld Feedback in de klas van Speltincx & Vanhoof. ↑